Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{20 - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt{20 - 4}$

Étape 4.3.3.4

Soustrayez $4$ de $20$ .

$\sqrt{16}$

Étape 4.3.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 4.3.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 4)$

Étape 5.3

Simplifiez

$(0, 4)$

Étape 5.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (4))$

Étape 5.6

Simplifiez

$(0, - 4)$

Étape 5.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Étape 6