Algèbre Exemples

$x^{2} + y^{2} - x + 8 y + 16 = 0$

Étape 1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - x$ par ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 8 y = - 16$

Étape 4

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = - 16 + \frac{1}{4}$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + 8 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $64$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + 8 y$ par ${(y + 4)}^{2} - 16$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - 16 + \frac{1}{4}$

Étape 7

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 16 + \frac{1}{4} + 16$

Étape 8

Simplifiez $- 16 + \frac{1}{4} + 16$ .

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Étape 8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.1

Écrivez $- 16$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16}{1} + \frac{1}{4} + 16$

Étape 8.1.2

Multipliez $\frac{- 16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 16$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{- 16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 16$

Étape 8.1.4

Écrivez $16$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16}{1}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 8.1.6

Multipliez $\frac{16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4 + 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 16$ par $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 64 + 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Étape 8.3.2

Multipliez $16$ par $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 64 + 1 + 64}{4}$

Étape 8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.4.1

Additionnez $- 64$ et $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 63 + 64}{4}$

Étape 8.4.2

Additionnez $- 63$ et $64$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{1}{4}$