Algèbre Exemples

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x)$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.7

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 1.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.3.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 1.2.3.7

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 1.2.3.8

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 1.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Étape 1.2.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ par $x - 1$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Étape 1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Étape 1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 1.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 1$

Étape 1.2.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

Étape 1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

Étape 1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Étape 1.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 1.4.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Étape 1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

Étape 1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 6