Algèbre Exemples

$y = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt{3 y - 2}}{2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$ .

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3 y - 2} = x \cdot 2$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\sqrt{3 y - 2} = 2 x$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 y - 2}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 y - 2}$ comme ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 y - 2)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Simplifiez

$3 y - 2 = {(2 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez ${(2 x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$3 y - 2 = 2^{2} x^{2}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 y - 2 = 4 x^{2}$

Étape 2.4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 4 x^{2} + 2$

Étape 2.4.3.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 4 x^{2} + 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 4 x^{2} + 2$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2.4.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2} + 2}{3}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{\sqrt{3 x - 2}}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez ${\sqrt{3 x - 2}}^{2}$ comme $3 x - 2$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 2}$ comme ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Étape 4.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

Étape 4.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 x - 2 + 2$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 4.2.5.1.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2} + 2}{3}) - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} + 2$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2}{3}) - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (1)}{3}) - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} + 1) - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 - 2}}{2}$

Étape 4.3.3.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 0}}{2}$

Étape 4.3.3.8

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Étape 4.3.3.9

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Étape 4.3.3.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$