Algèbre Exemples

$q (x) = \frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ est indéfinie.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}, x = 0, x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 2

Comme $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ depuis la gauche et $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ depuis la droite, $x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 3

Comme $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 4

Comme $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$ depuis la gauche et $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$ depuis la droite, $x = \frac{\sqrt{21}}{7}$ est une asymptote verticale.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 5

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}, 0, \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 6

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 7

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Étape 8

Comme $n = m$ , l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ où $a = 4$ et $b = 7$ .

$y = \frac{4}{7}$

Étape 9

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 10

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{\sqrt{21}}{7}, 0, \frac{\sqrt{21}}{7}$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{4}{7}$

Aucune asymptote oblique

Étape 11