Algèbre Exemples

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ comme $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ .

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Étape 1.2

Développez $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.3.2

Additionnez $\frac{x}{3}$ et $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.4

Associez $2$ et $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Étape 1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2

Divisez $3$ par $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 3

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 5

Évaluez $f (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 5.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 5.2.1.7.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

Étape 5.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

Étape 5.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

Étape 5.2.2.2.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 7