Algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 1} > \frac{2}{x - 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x - 1}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{2}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{2}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} > 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 1 - 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.4

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{- x - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.7

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x) - 1 (3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x + 3)$ comme $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 3$

$x = - 1$

$x = 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = - 3, - 1, 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(- 6) + 1} > \frac{2}{(- 6) - 1}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.2$ est supérieur au côté droit $- 0.\overline{285714}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(- 2) + 1} > \frac{2}{(- 2) - 1}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $- 0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(0) + 1} > \frac{2}{(0) - 1}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(4) + 1} > \frac{2}{(4) - 1}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0.2$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $- 1 < x < 1$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1)$

Étape 14