Algèbre Exemples

$y = 5 x^{2} - 4 x + 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $5 x^{2} - 4 x + 6$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 5$

$b = - 4$

$c = 6$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (5)}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{5}$

Étape 1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{2}{5}$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 6 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 6 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.1.4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 6 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.1.4.2.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 6 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.1.4.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Étape 1.1.4.2.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 5$ .

$e = 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 (5)}$

Étape 1.1.4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Étape 1.1.4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 6 - \frac{4}{5}$

Étape 1.1.4.2.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$e = 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 1.1.4.2.3

Associez $6$ et $\frac{5}{5}$ .

$e = \frac{6 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{6 \cdot 5 - 4}{5}$

Étape 1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.2.5.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$e = \frac{30 - 4}{5}$

Étape 1.1.4.2.5.2

Soustrayez $4$ de $30$ .

$e = \frac{26}{5}$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $5 {(x - \frac{2}{5})}^{2} + \frac{26}{5}$ .

$5 {(x - \frac{2}{5})}^{2} + \frac{26}{5}$

Étape 1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 5 {(x - \frac{2}{5})}^{2} + \frac{26}{5}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 5$

$h = \frac{2}{5}$

$k = \frac{26}{5}$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{2}{5}, \frac{26}{5})$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 5}$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{1}{20}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{2}{5}, \frac{21}{4})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{2}{5}$

Étape 8