Algèbre Exemples

$5 = x + \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x + \sqrt{x + 1} = 5$ .

$x + \sqrt{x + 1} = 5$

Étape 2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x + 1} = 5 - x$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = {(5 - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$x + 1 = {(5 - x)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(5 - x)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(5 - x)}^{2}$ comme $(5 - x) (5 - x)$ .

$x + 1 = (5 - x) (5 - x)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(5 - x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = 5 (5 - x) - x (5 - x)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x (5 - x)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$x + 1 = 25 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Étape 4.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - x \cdot 5 - x (- x)$

Étape 4.3.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - x (- x)$

Étape 4.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 4.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 4.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + 1 x^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + x^{2}$

Étape 4.3.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$x + 1 = 25 - 10 x + x^{2}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$25 - 10 x + x^{2} = x + 1$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$25 - 10 x + x^{2} - x = 1$

Étape 5.2.2

Soustrayez $x$ de $- 10 x$ .

$25 + x^{2} - 11 x = 1$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$25 + x^{2} - 11 x - 1 = 0$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $25$ .

$x^{2} - 11 x + 24 = 0$

Étape 5.5

Factorisez $x^{2} - 11 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 8, - 3$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 8) (x - 3) = 0$

Étape 5.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 5.7

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 5.7.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 5.8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 8) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 8, 3$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $5 = x + \sqrt{x + 1}$ vrai.

$x = 3$

Étape 7