Algèbre Exemples

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 x^{4}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x)$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2 = 0$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Étape 1.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

Étape 1.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Étape 1.5

Factorisez $x - 2$ à partir de $x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2)$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x^{3} {(x - 2)}^{2}$ .

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Étape 1.5.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(2 x - 1) (x - 2)$ .

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1) = 0$

Étape 1.5.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1)$ .

$(x - 2) (x^{3} (x - 2) + 2 x - 1) = 0$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Étape 1.7

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Étape 1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 2) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Étape 1.7.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$(x - 2) (x^{4} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Étape 1.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{3}$ .

$(x - 2) (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) = 0$

Étape 1.9

Factorisez.

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Étape 1.9.1

Réécrivez $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ en forme factorisée.

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Étape 1.9.1.1

Factorisez $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.9.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 1.9.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 1.9.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.9.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.9.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.9.1.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.9.1.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 + 2 + 2 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.9.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 + 2 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.9.1.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 - 2 - 1$

Étape 1.9.1.1.3.7

Soustrayez $2$ de $3$ .

$1 - 1$

Étape 1.9.1.1.3.8

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 1.9.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}{x + 1}$

Étape 1.9.1.1.5

Divisez $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ par $x + 1$ .

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Étape 1.9.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 1.9.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 1.9.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.9.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.9.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Étape 1.9.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.9.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.9.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 1.9.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 1.9.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 1.9.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Étape 1.9.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Étape 1.9.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Étape 1.9.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} + 3 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Étape 1.9.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

Étape 1.9.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

Étape 1.9.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

Étape 1.9.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

Étape 1.9.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

Étape 1.9.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

Étape 1.9.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Étape 1.9.1.1.6

Écrivez $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Étape 1.9.1.2

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.9.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 1.9.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 1.9.1.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.9.1.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.9.1.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.9.1.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.9.1.2.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.9.1.2.3.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 1.9.1.2.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 1.9.1.2.3.7

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 1.9.1.2.3.8

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 1.9.1.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Étape 1.9.1.2.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ par $x - 1$ .

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Étape 1.9.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 1.9.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Étape 1.9.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.9.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.9.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 1.9.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.9.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.9.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.9.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.9.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Étape 1.9.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 1.9.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 1.9.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 1.9.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 1.9.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 1.9.1.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 1$

Étape 1.9.1.2.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

Étape 1.9.1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.9.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

Étape 1.9.1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.9.1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

Étape 1.9.1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Étape 1.9.1.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 1.9.1.4.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Étape 1.9.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

Étape 1.9.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

Étape 1.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 5.2

Résolvez ${(x - 1)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$ vraie.

$x = 2, - 1, 1$

Étape 7