Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 12$

$b = 10$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(10)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{144 - {(10)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{144 - 1 \cdot 100}$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$\sqrt{144 - 100}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $100$ de $144$ .

$\sqrt{44}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$\sqrt{4 (11)}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Étape 4.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{11}$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 2 \sqrt{11}, 0)$

Étape 5.3

Simplifiez

$(2 \sqrt{11}, 0)$

Étape 5.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (2 \sqrt{11}), 0)$

Étape 5.6

Simplifiez

$(- 2 \sqrt{11}, 0)$

Étape 5.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{11}, 0)$

Étape 6