Algèbre Exemples

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 \geq 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} - 8 x^{2}) - x + 8 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 8) - (x - 8) = 0$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 8$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.4

Factorisez.

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Étape 2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 8, - 1, 1$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 8$

$x > 8$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 8 \geq 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 180$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - (0) + 8 \geq 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} - (4) + 8 \geq 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 60$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} - (10) + 8 \geq 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $198$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 8$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 1, 1] \cup [8, \infty)$

Étape 12