Algèbre Exemples

$\frac{x}{4} \leq \frac{9}{x}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{x}{4} \cdot 4 \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{4} \cdot 4 \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{9}{x} \cdot 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Associez $\frac{9}{x}$ et $4$ .

$x \leq \frac{9 \cdot 4}{x}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$x \leq \frac{36}{x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$x \cdot x = \frac{36}{x} x$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = \frac{36}{x} x$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{36}{x} x$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 36$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Étape 3.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 6$

Étape 3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6$

Étape 3.3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6$

Étape 3.3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6, - 6$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\frac{x}{4} - \frac{9}{x}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{9}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 8}{4} \leq \frac{9}{- 8}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $- 1.125$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 3}{4} \leq \frac{9}{- 3}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $- 0.75$ est supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{4} \leq \frac{9}{3}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $0.75$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{8}{4} \leq \frac{9}{8}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $1.125$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 6$ ou $0 < x \leq 6$

Étape 8

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 6] \cup (0, 6]$

Étape 9