Algèbre Exemples

$\frac{1}{- x} \leq \frac{5}{7 - x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{5}{7 - x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x}$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Étape 2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{5}{7 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (7 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{5}{7 - x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{(7 - x) x} \leq 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(7 - x) x$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (7 - x) - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{- 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 2.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 7 + 1 x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.6.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- 7 + x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.6.4

Soustrayez $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 7 - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.7

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{- 1 (7) - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{- 1 (7) - (4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (4 x)$ .

$\frac{- 1 (7 + 4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$7 + 4 x = 0$

$7 - x = 0$

Étape 4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 7$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $4 x = - 7$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 7$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7}{4}$

Étape 6

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 7$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x = 7$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - \frac{7}{4}$

$x = 7$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, - \frac{7}{4}, 7$

Étape 10

Déterminez le domaine de $- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (7 - x) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$7 - x = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10.2.3

Définissez $7 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $7 - x$ égal à $0$ .

$7 - x = 0$

Étape 10.2.3.2

Résolvez $7 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 7$

Étape 10.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 10.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 10.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 10.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x = 7$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (7 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 7$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{7}{4}$

$- \frac{7}{4} < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{7}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{7}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- (- 4)} \leq \frac{5}{7 - (- 4)}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $0.25$ est inférieur au côté droit $0.\overline{45}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7}{4} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7}{4} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- (- 1)} \leq \frac{5}{7 - (- 1)}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0.625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- (4)} \leq \frac{5}{7 - (4)}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $1.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- (10)} \leq \frac{5}{7 - (10)}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $- 0.1$ est supérieur au côté droit $- 1.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{7}{4}$ Vrai

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Faux

$0 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - \frac{7}{4}$ Vrai

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Faux

$0 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{7}{4}$ ou $0 < x < 7$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup (0, 7)$

Étape 15