Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x + 10$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} x + 10$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} x + 10$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} y + 10$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} y + 10 = x$ .

$\frac{1}{2} y + 10 = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$\frac{y}{2} + 10 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{2} = x - 10$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 10)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 (x - 10)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $2 (x - 10)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 x + 2 \cdot - 10$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$y = 2 x - 20$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 x - 20$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 x - 20$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} x + 10$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = 2 (\frac{1}{2} x + 10) - 20$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = 2 (\frac{x}{2} + 10) - 20$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 10 - 20$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 10 - 20$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = x + 2 \cdot 10 - 20$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $2$ par $10$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = x + 20 - 20$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 20 - 20$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $20$ de $20$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 10) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (2 x - 20)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 x - 20) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 20) + 10$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 x - 20) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 20 + 10$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (2 x - 20) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 20 + 10$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 x - 20) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 20 + 10$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 x - 20) = x + \frac{1}{2} \cdot - 20 + 10$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$f (2 x - 20) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 10)) + 10$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 x - 20) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 10) + 10$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 x - 20) = x - 10 + 10$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 10 + 10$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (2 x - 20) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (2 x - 20) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 x - 20$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} x + 10$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x - 20$