Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$ est indéfinie.

$x = 3$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x - 3}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x - 3}$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x - 3}$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x - 3}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x - 3}$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x - 3}$

Étape 5.2

Développez $(2 x - 1) (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x - 2) - 1 (x - 2)}{x - 3}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2)}{x - 3}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Étape 5.2.4

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Étape 5.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Étape 5.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Étape 5.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Étape 5.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Étape 5.2.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Étape 5.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 1 x + 2}{x - 3}$

Étape 5.2.11

Soustrayez $1 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{2}$

$5 x$

$2$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 6 x$

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					+	$x$	-	$3$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 3$

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					-	$x$	+	$3$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					-	$x$	+	$3$
							+	$5$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$2 x + 1 + \frac{5}{x - 3}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 2 x + 1$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 3$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 2 x + 1$

Étape 7