Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$

Étape 1

Définissez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ égal à $0$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

Étape 2.1.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 5 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 12$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$16 - 20 - 4 \cdot 2 + 12$

Étape 2.1.1.3.6

Soustrayez $20$ de $16$ .

$- 4 - 4 \cdot 2 + 12$

Étape 2.1.1.3.7

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$- 4 - 8 + 12$

Étape 2.1.1.3.8

Soustrayez $8$ de $- 4$ .

$- 12 + 12$

Étape 2.1.1.3.9

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12}{x - 2}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ par $x - 2$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$12$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + 2 x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x + 12$

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Étape 2.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - x - 6$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$(x - 2) (2 x^{2} - (x) - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $3$ plus $- 4$

$(x - 2) (2 x^{2} + (3 - 4) x - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 2) ((2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 2) (x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)) = 0$

Étape 2.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$(x - 2) ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (2 x + 3) (x - 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (2 x + 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 2, - \frac{3}{2}$

Étape 3