Algèbre Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} = 6 x^{2} - 12 x$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} = - 12 x$

Étape 1.2

Ajoutez $12 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + 12 x = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $12 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x)$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 2.2.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Étape 2.2.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Étape 2.2.1.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 + 12$

Étape 2.2.1.3.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- 8 - 16 - 6 \cdot - 2 + 12$

Étape 2.2.1.3.5

Soustrayez $16$ de $- 8$ .

$- 24 - 6 \cdot - 2 + 12$

Étape 2.2.1.3.6

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$- 24 + 12 + 12$

Étape 2.2.1.3.7

Additionnez $- 24$ et $12$ .

$- 12 + 12$

Étape 2.2.1.3.8

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 2.2.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12}{x + 2}$

Étape 2.2.1.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ par $x + 2$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$12$

Étape 2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$

Étape 2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x + 12$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Étape 2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$
										$0$

Étape 2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 6 x + 6$

Étape 2.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$x ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Définissez $x^{2} - 6 x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{2} - 6 x + 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$x = 0, - 2, 4.73205080 \dots, 1.26794919 \dots$

Étape 9