Algèbre Exemples

$x^{2} + 12 x < - 11$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 12 x = - 11$

Étape 2

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 12 x + 11 = 0$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 12 x + 11$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $11$ et dont la somme est $12$ .

$1, 11$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 11) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

Étape 5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 11) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 11$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$x > - 1$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 14)}^{2} + 12 (- 14) < - 11$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $28$ n’est pas inférieur au côté droit $- 11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} + 12 (- 6) < - 11$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 36$ est inférieur au côté droit $- 11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 12 (0) < - 11$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $0$ n’est pas inférieur au côté droit $- 11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 11$ Faux

$- 11 < x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Faux

$x < - 11$ Faux

$- 11 < x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 11 < x < - 1$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 11, - 1)$

Étape 12