Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$

Étape 1

Définissez $3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ égal à $0$ .

$3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $3 x^{4}$ à partir de $3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $3 x^{4}$ à partir de $3 x^{6}$ .

$3 x^{4} (x^{2}) + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $3 x^{4}$ à partir de $30 x^{5}$ .

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 75 x^{4} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $3 x^{4}$ à partir de $75 x^{4}$ .

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $3 x^{4}$ à partir de $3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x)$ .

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $3 x^{4}$ à partir de $3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25)$ .

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 x^{4} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x + 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $4$ )

$x = - 5$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $4$ )

$x = - 5$ (Multiplicité de $2$ )

Étape 3