Algèbre Exemples

$y = - 2 x^{2} + 6 x - 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $- 2 x^{2} + 6 x - 3$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 2$

$b = 6$

$c = - 3$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 2)}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{- 2}$

Étape 1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{3}{2}$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = - 3 - \frac{36}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$e = - 3 - \frac{36}{- 8}$

Étape 1.1.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $36$ et $- 8$ .

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Étape 1.1.4.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$e = - 3 - \frac{4 (9)}{- 8}$

Étape 1.1.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - 3 - \frac{9}{- 2}$

Étape 1.1.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 3 - - \frac{9}{2}$

Étape 1.1.4.2.1.5

Multipliez $- - \frac{9}{2}$ .

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Étape 1.1.4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - 3 + 1 (\frac{9}{2})$

Étape 1.1.4.2.1.5.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$e = - 3 + \frac{9}{2}$

Étape 1.1.4.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = - 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 1.1.4.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 3 \cdot 2 + 9}{2}$

Étape 1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$e = \frac{- 6 + 9}{2}$

Étape 1.1.4.2.5.2

Additionnez $- 6$ et $9$ .

$e = \frac{3}{2}$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2}$ .

$- 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2}$

Étape 1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{3}{2}$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{3}{2}, \frac{11}{8})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 8