Algèbre Exemples

$\frac{3 y^{3} - 27 y}{y^{2} - 9 y + 18} \cdot \frac{8 y^{2}}{3 y^{2} - 6 y - 45}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 y^{3} - 27 y}{y^{2} - 9 y + 18}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$y^{2} - 9 y + 18 = 0$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Factorisez $y^{2} - 9 y + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y - 6) (y - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

Étape 2.4

Définissez $y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 6) (y - 3) = 0$ vraie.

$y = 6, 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 y^{2}}{3 y^{2} - 6 y - 45}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 y^{2} - 6 y - 45 = 0$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} - 6 y - 45$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2}$ .

$3 (y^{2}) - 6 y - 45 = 0$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 y$ .

$3 (y^{2}) + 3 (- 2 y) - 45 = 0$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 45$ .

$3 y^{2} + 3 (- 2 y) + 3 \cdot - 15 = 0$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} + 3 (- 2 y)$ .

$3 (y^{2} - 2 y) + 3 \cdot - 15 = 0$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (y^{2} - 2 y) + 3 \cdot - 15$ .

$3 (y^{2} - 2 y - 15) = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $y^{2} - 2 y - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 4.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((y - 5) (y + 3)) = 0$

Étape 4.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (y - 5) (y + 3) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 3 = 0$

Étape 4.3

Définissez $y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

Étape 4.4

Définissez $y + 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $y + 3$ égal à $0$ .

$y + 3 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (y - 5) (y + 3) = 0$ vraie.

$y = 5, - 3$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$y = - 3, y = 3, y = 5, y = 6$

Étape 6