Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + 2 x - 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} + 2 x - 11$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = 2$ et $c = - 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 11)}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4.1.3

Additionnez $4$ et $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez $268$ comme $2^{2} \cdot 67$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.1.3

Additionnez $4$ et $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $268$ comme $2^{2} \cdot 67$ .

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Étape 5.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{67})}{6}$

Étape 5.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Étape 5.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $4$ et $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $268$ comme $2^{2} \cdot 67$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.6.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{67})}{6}$

Étape 5.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Étape 5.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ dans le numérateur.

$12 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (1 - \sqrt{67})) + 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (1 - \sqrt{67}) + 2$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 + 2 \sqrt{67} + 2$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0 + 2 \sqrt{67}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{67}$ .

$2 \sqrt{67}$

Étape 10

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $216$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 (- \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(- \sqrt{67})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.8

Multipliez ${\sqrt{67}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.9

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{2}$ comme $67$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{67}$ comme $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.6.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.10

Multipliez $3$ par $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.13

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{3}$ comme $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.14

Élevez $67$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.15

Réécrivez $300763$ comme $67^{2} \cdot 67$ .

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Étape 11.2.1.6.15.1

Factorisez $4489$ à partir de $300763$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.15.2

Réécrivez $4489$ comme $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - (67 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.6.17

Multipliez $67$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.7

Additionnez $1$ et $201$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 3 \sqrt{67} - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.8

Soustrayez $67 \sqrt{67}$ de $- 3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.9

Annulez le facteur commun à $202 - 70 \sqrt{67}$ et $108$ .

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Étape 11.2.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- (202 - 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $108$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.13

Multipliez $\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.14

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.15

Réécrivez ${(1 - \sqrt{67})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.16

Développez $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 - \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.17.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.2

Multipliez $- \sqrt{67}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.4

Multipliez $- \sqrt{67} (- \sqrt{67})$ .

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Étape 11.2.1.17.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 1 \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.4.2

Multipliez $\sqrt{67}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.4.3

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.4.4

Élevez $\sqrt{67}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1 + 1}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.5

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{2}$ comme $67$ .

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Étape 11.2.1.17.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{67}$ comme $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.17.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.2

Additionnez $1$ et $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - \sqrt{67} - \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.17.3

Soustrayez $\sqrt{67}$ de $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.18

Annulez le facteur commun à $68 - 2 \sqrt{67}$ et $36$ .

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Étape 11.2.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $68$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) + 2 (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.18.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (34) + 2 (- \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.18.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.18.4.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.19

Multipliez $- 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$ .

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Étape 11.2.1.19.1

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Étape 11.2.1.19.2

Associez $11$ et $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Étape 11.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $3$ par $18$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $6$ par $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $101$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $- 35$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.5

Multipliez $34$ par $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.8

Multipliez $11$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.9

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 - 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.11

Multipliez $11$ par $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Étape 11.2.4.12

Multipliez $9$ par $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 11.2.5.1

Additionnez $- 101$ et $102$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $1$ et $99$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 11.2.5.3

Soustrayez $3 \sqrt{67}$ de $35 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 32 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 11.2.5.4

Soustrayez $99 \sqrt{67}$ de $32 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) + 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 13.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ dans le numérateur.

$12 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Étape 13.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Étape 13.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Étape 13.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (1 + \sqrt{67})) + 2$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (1 + \sqrt{67}) + 2$

Étape 13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{67} + 2$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 \sqrt{67} + 2$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0 - 2 \sqrt{67}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{67}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{67}$

Étape 14

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $216$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.5

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{2}$ comme $67$ .

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Étape 15.2.1.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{67}$ comme $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.6

Multipliez $3$ par $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.7

Réécrivez ${\sqrt{67}}^{3}$ comme $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.8

Élevez $67$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.9

Réécrivez $300763$ comme $67^{2} \cdot 67$ .

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Étape 15.2.1.6.9.1

Factorisez $4489$ à partir de $300763$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.9.2

Réécrivez $4489$ comme $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.6.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.7

Additionnez $1$ et $201$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 3 \sqrt{67} + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.8

Additionnez $3 \sqrt{67}$ et $67 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.9

Annulez le facteur commun à $202 + 70 \sqrt{67}$ et $108$ .

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Étape 15.2.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- (202 + 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $108$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.13

Multipliez $\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.14

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.15

Réécrivez ${(1 + \sqrt{67})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.16

Développez $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 + \sqrt{67}) + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.17.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.1.2

Multipliez $\sqrt{67}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.1.3

Multipliez $\sqrt{67}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67 \cdot 67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.1.5

Multipliez $67$ par $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{4489}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.1.6

Réécrivez $4489$ comme $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67^{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.2

Additionnez $1$ et $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + \sqrt{67} + \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.17.3

Additionnez $\sqrt{67}$ et $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.18

Annulez le facteur commun à $68 + 2 \sqrt{67}$ et $36$ .

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Étape 15.2.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $68$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.18.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.18.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.18.4.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 (18)} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.19

Multipliez $- 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$ .

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Étape 15.2.1.19.1

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Étape 15.2.1.19.2

Associez $11$ et $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Étape 15.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $3$ par $18$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $6$ par $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $101$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $35$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.5

Multipliez $34$ par $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.6

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \cdot \sqrt{67} + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.8

Multipliez $11$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.9

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.10

Multipliez $11$ par $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Étape 15.2.4.11

Multipliez $9$ par $11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 101$ et $102$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $1$ et $99$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $- 35 \sqrt{67}$ et $3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 32 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Étape 15.2.5.4

Additionnez $- 32 \sqrt{67}$ et $99 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ .

$(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54})$ est un minimum local

$(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}, \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54})$ est un maximum local

Étape 17