Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2} {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 1

Identifiez le degré de la fonction.

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Étape 1.1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(3 x - 5)}^{2}$ comme $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$x^{2} ((3 x - 5) (3 x - 5))$

Étape 1.1.2

Développez $(3 x - 5) (3 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5))$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25)$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $15 x$ de $- 15 x$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25)$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + x^{2} \cdot 25$

Étape 1.1.5.3

Déplacez $25$ à gauche de $x^{2}$ .

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2}) - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 1.1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{2 + 2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 1.1.6.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 1.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$9 x^{4} - 30 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Étape 1.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 x^{4} - 30 (x^{1} x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Étape 1.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{4} - 30 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2}$

Étape 1.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 \cdot x^{2}$

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2}$

Étape 1.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$4$

Étape 2

Le degré étant pair, les extrémités de la fonction ont la même direction.

Pair

Étape 3

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 3.1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

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Étape 3.1.1

Réécrivez ${(3 x - 5)}^{2}$ comme $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$x^{2} ((3 x - 5) (3 x - 5))$

Étape 3.1.2

Développez $(3 x - 5) (3 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5))$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5))$

Étape 3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Étape 3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5)$

Étape 3.1.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25)$

Étape 3.1.3.2

Soustrayez $15 x$ de $- 15 x$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25)$

Étape 3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + x^{2} \cdot 25$

Étape 3.1.5.3

Déplacez $25$ à gauche de $x^{2}$ .

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 3.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2}) - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 3.1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{2 + 2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 3.1.6.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$9 x^{4} - 30 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Étape 3.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 x^{4} - 30 (x^{1} x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{4} - 30 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2}$

Étape 3.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 \cdot x^{2}$

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2}$

Étape 3.2

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$9 x^{4}$

Étape 3.3

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$9$

Étape 4

Comme le coefficient directeur est positif, le graphe monte vers la droite.

Positif

Étape 5

Utilisez le degré de la fonction et le signe du coefficient directeur pour déterminer le comportement.

1. Pair et positif : monte vers la gauche et monte vers la droite.

2. Pair et négatif : descend vers la gauche et descend vers la droite.

3. Impair et positif : descend vers la gauche et monte vers la droite.

4. Impair et négatif : monte vers la gauche et descend vers la droite

Étape 6

Déterminez le comportement.

Monte vers la gauche et monte vers la droite

Étape 7