Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 24$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 6 x + 24$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{2} + 6 x + 24$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 6$

$c = 24$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 3 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$d = 6$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 24 - \frac{6^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 24 - \frac{36}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = 24 - \frac{36}{\frac{4}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $2$ .

$e = 24 - \frac{36}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Divisez $36$ par $2$ .

$e = 24 - 1 \cdot 18$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$e = 24 - 18$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $18$ de $24$ .

$e = 6$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} {(x + 6)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{2} {(x + 6)}^{2} + 6$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{2} + 6$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 6$

$k = 6$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 6, 6)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 4.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{11}{2}$

Étape 6