Algèbre Exemples

$f (x) = - 4 x^{2} - 10 x - 2$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - 4 x^{2} - 10 x - 2$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 x^{2} - 10 x - 2 = 0$ .

$- 4 x^{2} - 10 x - 2 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 x^{2} - 10 x - 2$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$- 2 (2 x^{2}) - 10 x - 2 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 10 x$ .

$- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x)$ .

$- 2 (2 x^{2} + 5 x) - 2 \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 x^{2} + 5 x) - 2 (1)$ .

$- 2 (2 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 (2 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (2 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 (2 x^{2} + 5 x + 1)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (2 x^{2} + 5 x + 1)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $2 x^{2} + 5 x + 1$ par $1$ .

$2 x^{2} + 5 x + 1 = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 5$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $8$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $8$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.7.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{17}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Étape 1.2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{17})}{4}$

Étape 1.2.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.8.1.3

Soustrayez $8$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.8.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{17}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{17})}{4}$

Étape 1.2.8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (\sqrt{17})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{17})}{4}$

Étape 1.2.8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{5 - \sqrt{17}}{4}, 0), (- \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - 4 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 2$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 - 2$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 2$

Étape 2.2.3

Simplifiez $- 4 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 2$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 4 \cdot 0 - 10 \cdot 0 - 2$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0 - 10 \cdot 0 - 2$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 2$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 2$

Étape 2.2.3.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = - 2$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{5 - \sqrt{17}}{4}, 0), (- \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 4