Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ comme une équation.

$y = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{7 y - 3}{6 y - 7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$ .

$\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$6 y - 7, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$6 y - 7, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$6 y - 7$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$ par $6 y - 7$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$ par $6 y - 7$ .

$\frac{7 y - 3}{6 y - 7} (6 y - 7) = x (6 y - 7)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6 y - 7$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 y - 3}{6 y - 7} (6 y - 7) = x (6 y - 7)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$7 y - 3 = x (6 y - 7)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 y - 3 = x (6 y) + x \cdot - 7$

Étape 3.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 y - 3 = 6 x y + x \cdot - 7$

Étape 3.3.3.2.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $x$ .

$7 y - 3 = 6 x y - 7 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $6 x y$ des deux côtés de l’équation.

$7 y - 3 - 6 x y = - 7 x$

Étape 3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$7 y - 6 x y = - 7 x + 3$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $7 y - 6 x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $7 y$ .

$y \cdot 7 - 6 x y = - 7 x + 3$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 6 x y$ .

$y \cdot 7 + y (- 6 x) = - 7 x + 3$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 7 + y (- 6 x)$ .

$y (7 - 6 x) = - 7 x + 3$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (7 - 6 x) = - 7 x + 3$ par $7 - 6 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (7 - 6 x) = - 7 x + 3$ par $7 - 6 x$ .

$\frac{y (7 - 6 x)}{7 - 6 x} = \frac{- 7 x}{7 - 6 x} + \frac{3}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $7 - 6 x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (7 - 6 x)}{7 - 6 x} = \frac{- 7 x}{7 - 6 x} + \frac{3}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 7 x}{7 - 6 x} + \frac{3}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 7 x + 3}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x$ .

$y = \frac{- (7 x) + 3}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.3.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$y = \frac{- (7 x) - 1 (- 3)}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x) - 1 (- 3)$ .

$y = \frac{- (7 x - 3)}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.3.5.1

Réécrivez $- (7 x - 3)$ comme $- 1 (7 x - 3)$ .

$y = \frac{- 1 (7 x - 3)}{7 - 6 x}$

Étape 3.4.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{7 (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) - 3}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Associez $7$ et $\frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3)}{6 x - 7} - 3}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 x - 7}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3)}{6 x - 7} - 3 \cdot \frac{6 x - 7}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.3

Associez $- 3$ et $\frac{6 x - 7}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3)}{6 x - 7} + \frac{- 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3) - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez $\frac{7 (7 x - 3) - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x) + 7 \cdot - 3 - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x + 7 \cdot - 3 - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.3

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 3 (6 x) - 3 \cdot - 7}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.5

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 18 x - 3 \cdot - 7}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.6

Multipliez $- 3$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 18 x + 21}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.7

Soustrayez $18 x$ de $49 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x - 21 + 21}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.8

Additionnez $- 21$ et $21$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x + 0}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.3.5.9

Additionnez $31 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Associez $- 6$ et $\frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{7 + \frac{- 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{7 - \frac{6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.3

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 x - 7}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{7 (6 x - 7)}{6 x - 7} - \frac{6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{7 (6 x - 7) - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{7 (6 x - 7) - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{7 (6 x) + 7 \cdot - 7 - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x + 7 \cdot - 7 - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 6 (7 x) - 6 \cdot - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.5

Multipliez $7$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 42 x - 6 \cdot - 3}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.6

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 42 x + 18}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.7

Soustrayez $42 x$ de $42 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{0 - 49 + 18}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.8

Soustrayez $49$ de $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{- 49 + 18}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.9

Additionnez $- 49$ et $18$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{- 31}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{- \frac{31}{6 x - 7}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{31 x}{6 x - 7} \cdot (- \frac{6 x - 7}{31}))$

Étape 5.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (- \frac{31 x}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $31$ .

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Étape 5.2.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{31 x}{6 x - 7}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{- 31 x}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Étape 5.2.7.2

Factorisez $31$ à partir de $- 31 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{31 (- x)}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Étape 5.2.7.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{31 (- x)}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Étape 5.2.7.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{- x}{6 x - 7} \cdot (6 x - 7))$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $6 x - 7$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{- x}{6 x - 7} \cdot (6 x - 7))$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{7 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $7 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- 7 \frac{7 x - 3}{7 - 6 x} - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.3

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 3 \cdot \frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} + \frac{- 3 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 7 (7 x - 3) - 3 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $\frac{- 7 (7 x - 3) - 3 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 (7 x - 3) - 3 (7 - 6 x)$ .

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Étape 5.3.3.6.1.1

Remettez dans l’ordre $7$ et $- 6 x$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 7 (7 x - 3) - 3 (- 6 x + 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 (7 x - 3)$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x - 3)) - 3 (- 6 x + 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 (- 6 x + 7)$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x - 3)) - (3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 (7 x - 3)) - (3 (- 6 x + 7))$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x - 3) + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x) + 7 \cdot - 3 + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x + 7 \cdot - 3 + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.4

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.6

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 - 18 x + 3 \cdot 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.7

Multipliez $3$ par $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 - 18 x + 21)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.8

Soustrayez $18 x$ de $49 x$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (31 x - 21 + 21)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.9

Additionnez $- 21$ et $21$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (31 x + 0)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.10

Additionnez $31 x$ et $0$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 1 \cdot (31 x)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.6.11

Multipliez $- 1$ par $31$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 31 x}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x})$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- 6 \frac{7 x - 3}{7 - 6 x} - 7}$

Étape 5.3.4.1.2

Associez $- 6$ et $\frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 7}$

Étape 5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 7}$

Étape 5.3.4.3

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 7 \cdot \frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}}$

Étape 5.3.4.4

Associez $- 7$ et $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} + \frac{- 7 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}$

Étape 5.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}$

Étape 5.3.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7

Réécrivez $\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)}{- 6 x + 7}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)$ .

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Étape 5.3.4.7.1.1

Remettez dans l’ordre $7$ et $- 6 x$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 (7 x - 3)$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x - 3)) - 7 (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 (- 6 x + 7)$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x - 3)) - (7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 (7 x - 3)) - (7 (- 6 x + 7))$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x - 3) + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x) + 6 \cdot - 3 + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.3

Multipliez $7$ par $6$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x + 6 \cdot - 3 + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.4

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 + 7 (- 6 x) + 7 \cdot 7)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.6

Multipliez $- 6$ par $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 - 42 x + 7 \cdot 7)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.7

Multipliez $7$ par $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 - 42 x + 49)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.8

Soustrayez $42 x$ de $42 x$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (0 - 18 + 49)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.9

Soustrayez $18$ de $0$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (- 18 + 49)}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.7.10

Additionnez $- 18$ et $49$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 1 \cdot 31}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.8

Multipliez $- 1$ par $31$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 31}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{31}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{31}{- 6 x + 7}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{31 x}{7 - 6 x} \cdot \frac{- 6 x + 7}{31}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $31$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $31$ à partir de $31 x$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{31 (x)}{7 - 6 x} \cdot \frac{- 6 x + 7}{31}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{31 x}{7 - 6 x} \cdot \frac{- 6 x + 7}{31}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x}{7 - 6 x} \cdot (- 6 x + 7)$

Étape 5.3.8

Multipliez $\frac{x}{7 - 6 x}$ par $- 6 x + 7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x (- 6 x + 7)}{7 - 6 x}$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun à $- 6 x + 7$ et $7 - 6 x$ .

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Étape 5.3.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}$

Étape 5.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}$

Étape 5.3.9.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$