Algèbre Exemples

$f (x) = - (x + 3) (x + 10)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $- (x + 3) (x + 10)$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- x - 1 \cdot 3) (x + 10)$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(- x - 3) (x + 10)$

Étape 1.1.1.3

Développez $(- x - 3) (x + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x + 10) - 3 (x + 10)$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot x - x \cdot 10 - 3 (x + 10)$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot x - x \cdot 10 - 3 x - 3 \cdot 10$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 10 - 3 x - 3 \cdot 10$

Étape 1.1.1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 10 - 3 x - 3 \cdot 10$

Étape 1.1.1.4.1.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 10 x - 3 x - 3 \cdot 10$

Étape 1.1.1.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$- x^{2} - 10 x - 3 x - 30$

Étape 1.1.1.4.2

Soustrayez $3 x$ de $- 10 x$ .

$- x^{2} - 13 x - 30$

Étape 1.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 13$

$c = - 30$

Étape 1.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 13}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d = \frac{- 13}{- 2}$

Étape 1.1.4.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{13}{2}$

Étape 1.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 30 - \frac{{(- 13)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.2.1.1

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$e = - 30 - \frac{169}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - 30 - \frac{169}{- 4}$

Étape 1.1.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 30 - - \frac{169}{4}$

Étape 1.1.5.2.1.4

Multipliez $- - \frac{169}{4}$ .

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Étape 1.1.5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - 30 + 1 (\frac{169}{4})$

Étape 1.1.5.2.1.4.2

Multipliez $\frac{169}{4}$ par $1$ .

$e = - 30 + \frac{169}{4}$

Étape 1.1.5.2.2

Pour écrire $- 30$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e = - 30 \cdot \frac{4}{4} + \frac{169}{4}$

Étape 1.1.5.2.3

Associez $- 30$ et $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 30 \cdot 4}{4} + \frac{169}{4}$

Étape 1.1.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 30 \cdot 4 + 169}{4}$

Étape 1.1.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.2.5.1

Multipliez $- 30$ par $4$ .

$e = \frac{- 120 + 169}{4}$

Étape 1.1.5.2.5.2

Additionnez $- 120$ et $169$ .

$e = \frac{49}{4}$

Étape 1.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + \frac{13}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ .

$- {(x + \frac{13}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Étape 1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x + \frac{13}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{13}{2}$

$k = \frac{49}{4}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{13}{2}, \frac{49}{4})$

Étape 4