Algèbre Exemples

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

${(x - 5)}^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 2

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 5$

$x = 3, - 3$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 5, 3, - 3$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 10.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 10.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 10.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 10.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 10.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 10.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((- 6) - 5)}^{2}}{{(- 6)}^{2} - 9} \geq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $4.\overline{481}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((0) - 5)}^{2}}{{(0)}^{2} - 9} \geq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 2.\overline{7}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((4) - 5)}^{2}}{{(4)}^{2} - 9} \geq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $0.\overline{142857}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((8) - 5)}^{2}}{{(8)}^{2} - 9} \geq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.1\overline{63}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$3 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$3 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $3 < x \leq 5$ ou $x \geq 5$

Étape 14

Associez les intervalles.

$x < - 3 or x > 3$

Étape 15

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$

Étape 16