Algèbre Exemples

$f (x) = 4 {(x + 2)}^{2} - 6$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$f (x) = 4 ((x + 2) (x + 2)) - 6$

Étape 1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 6$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 6$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 6$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 4 x + 4) - 6$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4 - 6$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4 - 6$

Étape 1.5.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 16 - 6$

Étape 2

Soustrayez $6$ de $16$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 10$

Étape 3

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{16}{2 (4)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{16}{2 (4)}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{16}{2 (4)}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{8}{4}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4}$

Étape 4.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Étape 4.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{2}{1}$

Étape 4.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x = - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2$

Étape 5

Évaluez $f (- 2)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} + 16 (- 2) + 10$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 4 \cdot 4 + 16 (- 2) + 10$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- 2) = 16 + 16 (- 2) + 10$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 32 + 10$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$f (- 2) = - 16 + 10$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $10$ .

$f (- 2) = - 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- 2, - 6)$

Étape 7