Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$ comme une équation.

$y = 3 x - \frac{1}{4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3 y - \frac{1}{4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 y - \frac{1}{4} = x$ .

$3 y - \frac{1}{4} = x$

Étape 3.2

Ajoutez $\frac{1}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = x + \frac{1}{4}$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 y = x + \frac{1}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x + \frac{1}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{3 x - \frac{1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Pour écrire $3 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{3 x \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.3.1.2

Associez $3 x$ et $\frac{4}{4}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{\frac{3 x \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{\frac{3 x \cdot 4 - 1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{\frac{12 x - 1}{4}}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $\frac{12 x - 1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Multipliez $\frac{12 x - 1}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1}{12} + \frac{1}{12}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x - 1 + 1}{12}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $12 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x + 0}{12}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $12 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x}{12}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = \frac{12 x}{12}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 x - \frac{1}{4}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 3 (\frac{1}{12}) - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 3 (\frac{1}{3 (4)}) - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 4}) - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$ .

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Étape 5.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + \frac{1 - 1}{4}$

Étape 5.3.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + \frac{0}{4}$

Étape 5.3.4.3

Divisez $0$ par $4$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x + 0$

Étape 5.3.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{1}{12}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x - \frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{12}$