Algèbre Exemples

$2 - x \leq \frac{5 x + 6}{x + 3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{5 x + 6}{x + 3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x + \frac{2 (x + 3)}{x + 3} - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x + \frac{2 (x + 3) - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x + \frac{2 x + 2 \cdot 3 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x) - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 6}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.1.6

Soustrayez $5 x$ de $2 x$ .

$- x + \frac{- 3 x + 6 - 6}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.1.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$- x + \frac{- 3 x + 0}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.1.8

Additionnez $- 3 x$ et $0$ .

$- x + \frac{- 3 x}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.4

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.5

Associez $- x$ et $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{- x (x + 3)}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x (x + 3) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- x (x + 3) - 3 x$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x (x + 3)$ .

$\frac{x (- (x + 3)) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{x (- (x + 3)) + x \cdot - 3}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- (x + 3)) + x \cdot - 3$ .

$\frac{x (- (x + 3) - 3)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + 3) - 3$ .

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Étape 2.7.2.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{x (- (x + 3) - 1 (3))}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + 3) - 1 (3)$ .

$\frac{x (- (x + 3 + 3))}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.7.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{x \cdot - 1 (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.7.4

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$- x = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x = 0$

Étape 5

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 6$

$x = - 3$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 6, - 3$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x (x + 6)}{x + 3}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x + 6)}{x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 - (- 8) \leq \frac{5 (- 8) + 6}{(- 8) + 3}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $10$ est supérieur au côté droit $6.8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 - (- 4) \leq \frac{5 (- 4) + 6}{(- 4) + 3}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $6$ est inférieur au côté droit $14$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 - (- 2) \leq \frac{5 (- 2) + 6}{(- 2) + 3}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 - (2) \leq \frac{5 (2) + 6}{(2) + 3}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $3.2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 6 \leq x < - 3$ ou $x \geq 0$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 6, - 3) \cup [0, \infty)$

Étape 14