Algèbre Exemples

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x - 5}{x - 3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x - 1}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{x - 5}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 2}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x - 5}{x - 3}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(x - 1) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.2.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.5

Développez $(- x + 5) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.6.1.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.6.2

Additionnez $- 2 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.7

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.8

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.9

Additionnez $- 4 x$ et $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.10

Additionnez $3$ et $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.7

Réécrivez $13$ comme $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x - 13)$ comme $- 1 (x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 13$

Étape 5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 13, - 2, 3$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 9.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 9.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 2, 3$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $2.5$ est supérieur au côté droit $1.\overline{285714}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 0.5$ n’est pas supérieur au côté droit $1.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 13$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 13$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0.7$ est supérieur au côté droit $0.6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 13$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 13$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 16$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $16$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0.8\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{846153}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$3 < x < 13$ Vrai

$x > 13$ Faux

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$3 < x < 13$ Vrai

$x > 13$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $3 < x < 13$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

Étape 14