Algèbre Exemples

$x \geq \frac{8}{2 + x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{8}{2 + x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $x - \frac{8}{2 + x}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{x (2 + x)}{2 + x} - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 + x) - 8}{2 + x} \geq 0$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 2 + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Étape 2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x^{2} - 8}{2 + x} \geq 0$

Étape 2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{2 + x} \geq 0$

Étape 2.3.5

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 2.3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$2 + x = 0$

Étape 4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 2$

$x = - 4$

$x = - 2$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 2, - 4, - 2$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 + x = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$- 6 \geq \frac{8}{2 - 6}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 6$ est inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 \geq \frac{8}{2 - 3}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 3$ est supérieur au côté droit $- 8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$0 \geq \frac{8}{2 + 0}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 \geq \frac{8}{2 + 4}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $1.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x < - 2$ ou $x \geq 2$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 4, - 2) \cup [2, \infty)$

Étape 14