Algèbre Exemples

$f (x) = \ln (3 x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \ln (3 x)$ comme une équation.

$y = \ln (3 x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \ln (3 y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (3 y) = x$ .

$\ln (3 y) = x$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (3 y) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $3 y = e^{x}$ .

$3 y = e^{x}$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $3 y = e^{x}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = e^{x}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (3 x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\ln (3 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Étape 5.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{e^{x}}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (e^{x})$

Étape 5.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \ln (e)$

Étape 5.3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \cdot 1$

Étape 5.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$