Algèbre Exemples

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ comme une équation.

$y = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(2 y + 1)}^{3} - 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$ .

${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

${(2 y + 1)}^{3} = x + 4$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{x + 4}$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{({(2 x + 1)}^{3} - 4) + 4} - 1}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4}$ comme ${({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans ${(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez ${(2 x + 1)}^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Étape 5.2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Étape 5.2.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{(2 x + 1) - 1}{2}$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Étape 5.2.3.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1)}^{3} - 4$

Étape 5.3.3.2

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} + 0)}^{3} - 4$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $\sqrt[3]{x + 4}$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {\sqrt[3]{x + 4}}^{3} - 4$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ comme $x + 4$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 4}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 4$

Étape 5.3.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 4$

Étape 5.3.3.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Étape 5.3.3.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Étape 5.3.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = (x + 4) - 4$

Étape 5.3.3.3.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 4 - 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$