Algèbre Exemples

$\frac{7 x + 10}{x - 2} \leq x - 5$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \leq - 5$

Étape 1.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.2

Associez $- x$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} + \frac{- x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x + 10 - x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x + 10 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{7 x + 10 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} + 2 x}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.4

Additionnez $7 x$ et $2 x$ .

$\frac{9 x + 10 - x^{2}}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.4.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 2.4.6.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 (x) + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.6.1.2

Réécrivez $9$ comme $- 1$ plus $10$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 10) x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 1) - 10 (- x - 1)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.4.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Étape 2.5

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- x - 1) (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Développez $(- x - 1) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x (x - 10) - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- x^{2} - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.2.2

Soustrayez $x$ de $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x + 5 \cdot - 2}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.4

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x - 10}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.5

Additionnez $9 x$ et $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 10 - 10}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.6

Soustrayez $10$ de $10$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 0}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.7

Additionnez $- x^{2} + 14 x$ et $0$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.8

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 14 x$ .

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Étape 2.7.8.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.8.2

Factorisez $x$ à partir de $14 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 14}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.7.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot 14$ .

$\frac{x (- x + 14)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 14)}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.9

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 14))}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- (x - 14)$ comme $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$- x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x = 0$

Étape 5

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 14$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 14$

$x = 2$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, 14, 2$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x (x - 14)}{x - 2}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x - 14)}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 14$

$x > 14$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7 (- 2) + 10}{(- 2) - 2} \leq (- 2) - 5$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $- 7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7 (1) + 10}{(1) - 2} \leq (1) - 5$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 17$ est inférieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 14$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 14$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7 (4) + 10}{(4) - 2} \leq (4) - 5$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $19$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 14$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 14$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 16$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $16$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7 (16) + 10}{(16) - 2} \leq (16) - 5$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $8.\overline{714285}$ est inférieur au côté droit $11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 14$ Faux

$x > 14$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 14$ Faux

$x > 14$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x < 2$ ou $x \geq 14$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[0, 2) \cup [14, \infty)$

Étape 14