Algèbre Exemples

${(t + \frac{1}{t})}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(t)}^{4 - k} \cdot {(\frac{1}{t})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(t)}^{4 - 0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(t)}^{4 - 1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(t)}^{4 - 2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(t)}^{4 - 3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(t)}^{4 - 4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(t)}^{4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(t)}^{4}$ par $1$ .

${(t)}^{4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} \cdot \frac{1^{0}}{t^{0}} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$t^{4} \cdot \frac{1}{t^{0}} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$t^{4} \cdot \frac{1}{1} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.5

Divisez $1$ par $1$ .

$t^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.6

Multipliez $t^{4}$ par $1$ .

$t^{4} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.7

Simplifiez

$t^{4} + 4 t^{3} \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $t$ à partir de $4 t^{3}$ .

$t^{4} + t (4 t^{2}) \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.8.2

Annulez le facteur commun.

$t^{4} + t (4 t^{2}) \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.8.3

Réécrivez l’expression.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 t^{2} \cdot \frac{1^{2}}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 t^{2} \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

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Étape 4.11.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $6 t^{2}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + t^{2} \cdot 6 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.11.2

Annulez le facteur commun.

$t^{4} + 4 t^{2} + t^{2} \cdot 6 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.11.3

Réécrivez l’expression.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.12

Simplifiez

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot t \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 t \cdot \frac{1^{3}}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 t \cdot \frac{1}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.15

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.15.1

Factorisez $t$ à partir de $4 t$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.15.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t \cdot t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.15.3

Annulez le facteur commun.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t \cdot t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.15.4

Réécrivez l’expression.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.16

Associez $4$ et $\frac{1}{t^{2}}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.17

Multipliez ${(t)}^{0}$ par $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.18

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + 1 \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez ${(\frac{1}{t})}^{4}$ par $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + {(\frac{1}{t})}^{4}$

Étape 4.20

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + \frac{1^{4}}{t^{4}}$

Étape 4.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t^{4}}$