Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{8}$ .

$5 x^{4} (x^{4}) + 20 x^{6} + 20 x^{4} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $20 x^{6}$ .

$5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 20 x^{4} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $20 x^{4}$ .

$5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (4) = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2})$ .

$5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4) = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)$ .

$5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 4) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 2^{2}) = 0$

Étape 2.1.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 2.1.4.3

Réécrivez le polynôme.

$5 x^{4} (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.1.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

$5 x^{4} {(u + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x^{2} + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x^{2} + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 2.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 2.4.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 2.4.2.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 2.4.2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4