Algèbre Exemples

$\frac{5 x + 7}{x - 1} < - 2$

Étape 1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2 < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 x + 7 + 2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x + 7 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} < 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 x + 7 + 2 x - 2}{x - 1} < 0$

Étape 2.3.3

Additionnez $5 x$ et $2 x$ .

$\frac{7 x + 7 - 2}{x - 1} < 0$

Étape 2.3.4

Soustrayez $2$ de $7$ .

$\frac{7 x + 5}{x - 1} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$7 x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 5$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $7 x = - 5$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 5$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{7}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{7}$

Étape 6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{5}{7}$

$x = 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{5}{7}, 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{5}{7}$

$- \frac{5}{7} < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (- 3) + 7}{(- 3) - 1} < - 2$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{7} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{7} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (0) + 7}{(0) - 1} < - 2$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 7$ est inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (4) + 7}{(4) - 1} < - 2$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $9$ n’est pas inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{5}{7}$ Faux

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - \frac{5}{7}$ Faux

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{5}{7} < x < 1$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{5}{7}, 1)$

Étape 14