Algèbre Exemples

$y = \frac{- 4}{x} + 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{- 4}{y} + 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{- 4}{y} + 1 = x$ .

$\frac{- 4}{y} + 1 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{- 4}{y} = x - 1$

Étape 2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{y} = x - 1$

Étape 2.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 2.4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 2.5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{4}{y} = x - 1$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{4}{y} = x - 1$ par $y$ .

$- \frac{4}{y} y = x y - y$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{y} y = x y - y$

Étape 2.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4}{y} y = x y - y$

Étape 2.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 = x y - y$

Étape 2.6

Résolvez l’équation.

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $x y - y = - 4$ .

$x y - y = - 4$

Étape 2.6.2

Factorisez $y$ à partir de $x y - y$ .

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x - y = - 4$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = - 4$

Étape 2.6.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = - 4$

Étape 2.6.3

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = - 4$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = - 4$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 4}{x - 1}$

Étape 2.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 4}{x - 1}$

Étape 2.6.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 4}{x - 1}$

Étape 2.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4}{x - 1}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 4}{x} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{(\frac{- 4}{x} + 1) - 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{\frac{- 4}{x} + 0}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $\frac{- 4}{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{\frac{- 4}{x}}$

Étape 4.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{- \frac{4}{x}}$

Étape 4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - (4 (- \frac{x}{4}))$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{4}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - (4 (\frac{- x}{4}))$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - (4 (\frac{- x}{4}))$

Étape 4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{4}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = \frac{- 4}{- \frac{4}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = - 4 (- \frac{x - 1}{4}) + 1$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x - 1}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = - 4 \frac{- (x - 1)}{4} + 1$

Étape 4.3.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = 4 (- 1) (\frac{- (x - 1)}{4}) + 1$

Étape 4.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = 4 \cdot (- 1 \frac{- (x - 1)}{4}) + 1$

Étape 4.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = (x - 1) + 1$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = 1 (x - 1) + 1$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 4}{x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$