Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ .

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Étape 2.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $7^{y - 1}$ .

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$7^{y - 1} = 3 x$

Étape 2.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

Étape 2.5

Développez $\ln (7^{y - 1})$ en déplaçant $y - 1$ hors du logarithme.

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

Étape 2.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.1

Simplifiez $(y - 1) \ln (7)$ .

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Étape 2.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

Étape 2.6.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (7)$ comme $- \ln (7)$ .

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

Étape 2.7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

Étape 2.8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.8.1

Ajoutez $\ln (7)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

Étape 2.8.2

Ajoutez $\ln (3 x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

Étape 2.9

Divisez chaque terme dans $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ par $\ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 2.9.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ par $\ln (7)$ .

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 2.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Étape 2.9.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Étape 2.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 2.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Étape 2.9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $7^{x - 1}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Étape 4.2.3.2

Développez $\ln (7^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Étape 4.2.3.3

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Étape 4.2.3.3.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

Étape 4.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Étape 4.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 4.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$