Algèbre Exemples

$\frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x + 4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) {(x + 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3) (x + 3)}$

Étape 4.3

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4.4

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x + 4) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 3) + 4 (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 4 (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 4 x - 12 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 3 x$ et $4 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 12 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x - 12 - x - 1 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{2} + x - 12 - x - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 12 - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.7

Soustrayez $3$ de $- 12$ .

$\frac{x^{2} - 15}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$