Algèbre Exemples

$\frac{3 k - 27}{k^{2} - 8 k - 9} + \frac{7 k + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k - 27$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k$ .

$\frac{3 (k) - 27}{k^{2} - 8 k - 9} + \frac{7 k + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$\frac{3 k + 3 \cdot - 9}{k^{2} - 8 k - 9} + \frac{7 k + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 k + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{3 (k - 9)}{k^{2} - 8 k - 9} + \frac{7 k + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.2

Factorisez $k^{2} - 8 k - 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 9$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 9, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 (k - 9)}{(k - 9) (k + 1)} + \frac{7 k + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $k - 9$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (k - 9)}{(k - 9) (k + 1)} + \frac{7 k + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 k + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.4

Factorisez $7$ à partir de $7 k + 14$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 k$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k) + 14}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.4.2

Factorisez $7$ à partir de $14$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 k + 7 \cdot 2}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.4.3

Factorisez $7$ à partir de $7 k + 7 \cdot 2$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 k^{2} + 9 k + 6}$

Étape 1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k^{2} + 9 k + 6$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k^{2}$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 (k^{2}) + 9 k + 6}$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9 k$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 (k^{2}) + 3 (3 k) + 6}$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 k^{2} + 3 (3 k) + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 k^{2} + 3 (3 k)$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 (k^{2} + 3 k) + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (k^{2} + 3 k) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 (k^{2} + 3 k + 2)}$

Étape 1.5.2

Factorisez $k^{2} + 3 k + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 ((k + 1) (k + 2))}$

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 (k + 1) (k + 2)}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $k + 2$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7 (k + 2)}{3 (k + 1) (k + 2)}$

Étape 1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{k + 1} + \frac{7}{3 (k + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{k + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{k + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3 (k + 1)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(k + 1) \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3}{k + 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{(k + 1) \cdot 3} + \frac{7}{3 (k + 1)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(k + 1) \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (k + 1)} + \frac{7}{3 (k + 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 3 + 7}{3 (k + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 7}{3 (k + 1)}$

Étape 5.2

Additionnez $9$ et $7$ .

$\frac{16}{3 (k + 1)}$