Algèbre Exemples

$f (x) = (x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17)$

Étape 1

Définissez $(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17)$ égal à $0$ .

$(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

$x^{2} + 8 x + 17 = 0$

Étape 2.2

Définissez $x^{2} + 2 x - 15$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Définissez $x^{2} + 2 x - 15$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Étape 2.2.2

Résolvez $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 2.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2.2.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.2.2.4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.2.2.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 8 x + 17$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 8 x + 17$ égal à $0$ .

$x^{2} + 8 x + 17 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 8 x + 17 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 8$ et $c = 17$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

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Étape 2.3.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3

Soustrayez $68$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 i}{2}$

Étape 2.3.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm i$

Étape 2.3.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 4 + i, - 4 - i$

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5, - 4 + i, - 4 - i$

Étape 3