Algèbre Exemples

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

$2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

Étape 2

Définissez $x^{4} + 5 x^{2} - 36$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $x^{4} + 5 x^{2} - 36$ égal à $0$ .

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 5 u - 36 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2.2

Factorisez $u^{2} + 5 u - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $5$ .

$- 4, 9$

Étape 2.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 9) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 9 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 2.2.5

Définissez $u + 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $u + 9$ égal à $0$ .

$u + 9 = 0$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 9$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (u + 9) = 0$ vraie.

$u = 4, - 9$

Étape 2.2.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Étape 2.2.8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.2.9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.2.9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.2.9.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.2.9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.2.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.2.9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.2.9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.2.10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Étape 2.2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 9$

Étape 2.2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 2.2.11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 2.2.11.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 2.2.11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.2.11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.2.11.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.2.11.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 2.2.11.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 2.2.11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 2.2.11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 2.2.11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 2.2.12

La solution à $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ est $x = 2, - 2, 3 i, - 3 i$ .

$x = 2, - 2, 3 i, - 3 i$

Étape 3

Définissez $2 x^{2} + 9 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x^{2} + 9 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$2 x^{2} + 9 (x) - 5 = 0$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $- 1$ plus $10$

$2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5 = 0$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5 = 0$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1) = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 5) = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 3.2.3

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 3.2.3.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 5$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$ vraie.

$x = 2, - 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$

Étape 5