Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$ comme une équation.

$y = \frac{2 x}{3} - 17$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y}{3} - 17$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 y}{3} - 17 = x$ .

$\frac{2 y}{3} - 17 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $17$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 y}{3} = x + 17$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + 17)$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + 17)$

Étape 3.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + 17)$

Étape 3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x + 17)$

Étape 3.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + 17)$

Étape 3.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{2} (x + 17)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (x + 17)$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 17$

Étape 3.4.2.1.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 17$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot 17$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $17$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot 17}{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $17$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 17)}{2} + \frac{51}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 17) + 51}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 17 + 51}{2}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 17 + 51}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x + 3 \cdot - 17 + 51}{2}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $3$ par $- 17$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x - 51 + 51}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 51 + 51$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 51$ et $51$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2})}{3} - 17$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x + 51}{2})}{3} - 17$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 51$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 (x) + 51}{2})}{3} - 17$

Étape 5.3.3.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $51$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x + 3 \cdot 17}{2})}{3} - 17$

Étape 5.3.3.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 17$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 (x + 17)}{2})}{3} - 17$

Étape 5.3.3.2

Associez $2$ et $\frac{3 (x + 17)}{2}$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2}}{3} - 17$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{6 (x + 17)}{2}}{3} - 17$

Étape 5.3.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.4.1

Réduisez l’expression $\frac{6 (x + 17)}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x + 17)$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2}}{3} - 17$

Étape 5.3.3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2 (1)}}{3} - 17$

Étape 5.3.3.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2 \cdot 1}}{3} - 17$

Étape 5.3.3.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{3 (x + 17)}{1}}{3} - 17$

Étape 5.3.3.4.2

Divisez $3 (x + 17)$ par $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{3 (x + 17)}{3} - 17$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{3 (x + 17)}{3} - 17$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $x + 17$ par $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = x + 17 - 17$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 17 - 17$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $17$ de $17$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$