Algèbre Exemples

$y = 4 x^{2} + 3$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 4 y^{2} + 3$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $4 y^{2} + 3 = x$ .

$4 y^{2} + 3 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} = x - 3$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = x - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = x - 3$ par $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{x}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$ .

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 3}{4}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{x - 3}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x - 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{4}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 2.5.2.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)}$

Étape 2.5.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x - 3}$

Étape 2.5.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{x - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 4 x^{2} + 3$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[3, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 3 \geq 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 4 x^{2} + 3$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ est le domaine de $f (x) = 4 x^{2} + 3$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Étape 5