Algèbre Exemples

$\frac{3 x + 4}{x - 4} \leq x - 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \leq - 1$

Étape 1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.2

Associez $- x$ et $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} + \frac{- x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x + 4 - x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.4.4

Additionnez $3 x$ et $4 x$ .

$\frac{7 x + 4 - x^{2}}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Étape 2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4 + x - 4}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Additionnez $7 x$ et $x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 4 - 4}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.7.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 0}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.7.3

Additionnez $- x^{2} + 8 x$ et $0$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.7.4

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 8 x$ .

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Étape 2.7.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.7.4.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 8}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.7.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x + 8)}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 8)}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.9

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 8))}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- (x - 8)$ comme $- 1 (x - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$- x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x = 0$

Étape 5

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 6

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 8$

$x = 4$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, 8, 4$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x (x - 8)}{x - 4}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x - 8)}{x - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 4 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 2) + 4}{(- 2) - 4} \leq (- 2) - 1$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (2) + 4}{(2) - 4} \leq (2) - 1$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (6) + 4}{(6) - 4} \leq (6) - 1$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $11$ est supérieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (10) + 4}{(10) - 4} \leq (10) - 1$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $5.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x < 4$ ou $x \geq 8$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[0, 4) \cup [8, \infty)$

Étape 14