Algèbre Exemples

$\frac{6 a}{a^{2} - 6 a + 9} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{6 a}{a^{2} - 6 a + 3^{2}} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{6 a}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 3$ .

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2} - 2 a - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 1) {(a - 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$ par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{(a - 3) (a + 1) (a - 3)}$

Étape 4.3

Élevez $a - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{1} (a - 3) (a + 1)}$

Étape 4.4

Élevez $a - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{1} {(a - 3)}^{1} (a + 1)}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{1 + 1} (a + 1)}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 a (a + 1) + 9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 a (a + 1) + 9 (a - 3)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 a (a + 1)$ .

$\frac{3 (2 a (a + 1)) + 9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9 (a - 3)$ .

$\frac{3 (2 a (a + 1)) + 3 (3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 a (a + 1)) + 3 (3 (a - 3))$ .

$\frac{3 (2 a (a + 1) + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 a \cdot a + 2 a \cdot 1 + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.3

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Déplacez $a$ .

$\frac{3 (2 (a \cdot a) + 2 a \cdot 1 + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a + 3 a + 3 \cdot - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.6

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a + 3 a - 9)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Étape 6.7

Additionnez $2 a$ et $3 a$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 5 a - 9)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$